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정상적인 힐베르트-유클리드 기하와 데카르트-해석기하로의 해석에서, 기하의 언어

힐베르트가 형식화한 유클리드 기하는 기표가 형식이고 기의가 그림이니까, 형식언어를 배우는건 쉽고, 기하에서는 Euclidea같은 도구로 실습하듯 직접 해봐야 하니까, 한쳅터 한쳅터 강의가 있어도 열심히 해야겠네. 형식언어를 가지고 놀고, 퍼즐개임을 잘하는 사람한테 가르치더라도, 가르칠 내용은 구조화된 커리큘럼 흐름을 따라 배워서 머리에 입력되는데, 논증기하는 분야가 넓으니, 커리큘럼의 내용 흐름 설정만 해도 다양하겠다고 생각함. 각 정리들 T에 대해서 그 로드맵이 이해를 고려한 순서이니까.

표준기저 e₁ ~ eₙ에 대해서, 길이 d에 대해, 마이너스(-)방향 축은 -deₖ, 플러스(+)방향 축은 deₖ로, 축 (Axis)은 서로 원점 O에 대해 직교하게 설정된 상태로, 좌표의 각 지점은 기저로 생성한 벡터로 취급할때, 아핀공간 위에서 좌표계를 그리는건 원점 O에 대해 벡터로 그려지니 단순하고, 아핀공간은 유클리드 기하에서, 각 축의 방향을 이미 그려진 도형들을 통해 잘 설정되어있으면 되니, 주어진 정보에서 잘 부여되거나 기본적으로 잘 부여되게 문제를 주게 하여, 유클리드 기하 상에서 무한한 순서 내에 해석기하 좌표계를 그릴수 있겠다고 생각함.

데카르트 좌표평면은 별로 깊지 않고 당연한 다음 열두가지 고찰들이 통하는 모델 M의 이론 T다.

좌표점 : 좌표가 의미하는 점으로, 데카르트의 해석기하 언어 내에서 좌표는 항상 점을 의미한다고 생각하면 이 언어의 뉘앙스가 쉽게 이해된다. 그리고 참고로 좌표들은 함수식(=도형의 방정식)을 만족하므로, 그 원소이고, 함수는 기본적으로 좌표를 찍는것인 의미이며, 논리적인 조건제시법으로, 각 좌표의 성분의 의미를 조건제시법으로 나타내는것, 즉, 좌표를 찍는 방법은 좌표의 의미가 가지는 논리의 언어인 함수이다.

도형은 점들의 집합인데, 도형은 grpah이다.
도형의 방정식은 점들의 집합이므로, 함수식이거나 함수관계이다.
방정식 P(x₁, …, xₙ, y) = 0의 해, 혹은 다른말로 근은, 방정식 P(x₁, …, xₙ, y) = 0을 만족시키는 x₁, …, xₙ, y를 말하므로, genΦ(f) = ker f인 방정식 genΦ(P)은 당연히 술어이다.
술어 Φ와 문장 s에 대해 Φ : s로 정의되었을때, 해당 술어를 만족함은 당연히 술어값이 의미라는 문장을 만족함이다.
방정식은 술어이다.
양함수(explicit function)란, y = f(x₁, .., xₙ)인 함수 f를 말한다. 양함수 y = f(x₁, .., xₙ)에 대해, g(x₁, …, xₙ, y) = f(x₁, .., xₙ) - y로 음함수 g를 만들수 있음이 당연하다.
음함수(implicit function)란, f(x₁, …, xₙ, y) = 0 인 함수 f를 말한다. 음함수의 함수식 P가, f(x₁, …, xₙ, y) = P(x₁, …, xₙ, y)식일때, ker P = graph f임이 당연하다.
함수관계란, 일련의 변수 x₁, …, xₙ, y가 함수 f에 대해 함수식을 만족하는 경우이다.
graph f에 대해 점 P(x₁, …, xₙ, y)가 graph f위에 있다면, 즉, P ∈ graph f라면 일련의 변수 x₁, …, xₙ, y가 함수 f에 대해 함수식을 만족하는것이 graph(=그래프는 도형이다. 그리고 도형은 점들의 집합이다)인 graph f의 정의이다. 관계는 다변수 술어이고, 술어는 모델론적으로 집합으로 구성되므로, 함수 f 에 대한 함수관계 R은, graph f임이 당연하다.
함수 f에 대한 함수식을 만족한다면, 함수 f가 양함수일때 음함수 g혹은, 음함수 f에 대하여, 함수는 도형의 방정식이고, 따라서, 음함수는 기본적으로 P(x₁, …, xₙ, y) = 0꼴의 방정식이므로, 음함수 문장은 술어랑 동일하게 일련의 변수 x₁, …, xₙ, y에 대한 도형의 방정식으로 술어이고, 동일하게 만족관계를 가진다.
진리값배정처럼 술어 Φ₁, …, Φₙ에 대해 그것들중 일부를 모아놓은 집합 Ψ에 대해, Ψ를 만족하는 값들 역시 튜플의 집합이고, 각 튜플의 부분이 변수이므로, 좌표이다.
함수 f는 도형의 방정식이고, 함수 f의 함수식, 즉 도형의 방정식에서 해당 방정식을 만족하는 튜플을 그리면 당연히 그것이 좌표가 된다.

단위는 벡터공간을 이룬다. 함수식 y = f(x₁, …, xₙ)에서 각 단위 축(차원)의 값은 벡터공간의 원소 <x₁, …, xₙ, y>에서 각 성분일텐데, 공식 y = f(x₁, .., xₙ)에서, 각 값이 의미하는바가 있다면 단위로 취급될것이다.

해석기하의 언어는 함수식인데

다음 두가지 fact를 보자. + 양함수 f는 그 식 P에 대해, f : y = P(x₁, …, xₙ)식이다. + 음함수 f는 그 식 P에 대해, f : P(x₁, …, xₙ, y) = 0식이다.

저 함수식 f는 만족관계상 사실상 술어 f로 볼때, graph f가 그 의미이다.

그리고 graph f는 점들의 모임으로, 도형이다.

따라서, 해석기하의 언어는 점들의 모임으로, 즉, 함수식이고, 따라서 기표가 점들의 모임을 의미하는 술어인 도형의 방정식이고, 기의가 도형의 그림 pic(참고 : 데카르트 좌표계인 벡터공간의 한 좌표점 P를 유클리드 기하에서 그렸던 방법으로 pic이 나온다)이므로, Geogebra등의 도구를 통해 그 lang를 잘 이해할 필요가 있다. (이 함수가 찍는 점(이 형식언어의 랑그)을 그럼 어떻게 효과적으로 익힐수 있는지가 관건이다.)

유클리드 기하는 그 선험적인 Blank인 인간뇌의 베어메탈로 깔린 공간의 조작을 다루는, 선험으로의 공간, 그 기하적 공간을 다루므로, 언어는 기본적으로 선험적인 공간상이므로, 그 공간을 Euclidea를 통해 익숙해져야 하고, 데카르트 기하는 도형의 방정식의 해(좌표점)로 형식적으로 논리적으로 서술되는 Geogebra식 언어를 어떻게 좌표점을 식이 한정하여 결정하는지를 다루는 언어로, 논리가 도형을 한정하는 과정을 다루는것에 익숙해져야한다.

기하의 원문은 기하학 원론인데 그걸 분석하는 도구가 해석기하 (도형의 본래적 의미가 힐베르트-유클리드기하이고 도형의 대수적 의미가 데카르트-해석기하)… 식으로 접근하는데

완전히 언어가 달라서, 아무리 좌표축을 유클리드에서 작도하더라도, 튜플의 원소를 역으로 만들수 있게 해주는 도구인 좌표생성자인 “기저”를 집적 대수로 조작하는 해석기하는 정체가 뭔지 모르겠다. 벡터가 뭐지?

각각의 eₖ = 반직선 OEₖ로 놓고, 반직선 OEₖ를 좌우로 확장한 선에서, OEₖ와 평각을 이루는걸 LHinter((=-eₖ))(-OEₖ)라 하고, 그 반직선이 OEₖ가 A. 상수배가 정의됨, B. 합이 정의됨 이니, C.따라서 벡터공간을 이룸 ; 이므로, 유클리드 기하에 데카르트 기하를 렌더링하는건 아무래도 기하적 객체 OEₖ의 벡터 해석에서 오는듯 하다.

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