<ℝ ∪ ℝ*, *, ᵤ, st>인 대수구조는 전달원리, 울트라곱 구성, 표준부분원리까지 세가지 함수가 정의된 신기한 대수구조네? ㅋㅋㅋ
o.o* ≜ <ℝ ∪ ℝ*, *, ᵤ, st>로 정의하자.
p-adic은 언어(문자셋)를 L = Z/pₖZ를 놓았을네, 기수법에서의 덧셈 • 뻴셈 • 곱셈 • 나눗셈 • 로그 • 지수 • 기타 하이퍼연산 등이 정의된 무한 문자 시퀀스와 동형이네? ㅋㅋㅋ 이런 언어 L을 adₖ라고 할께. 수열인 이유는 pₖⁿ [n := ∞]와 동형이니까.
Φ₁(v, w, *) : v₁ * w₂= w₁ * v₂
G(a, *, k) : {b | Φₖ(a, b, *)}
Φ₂(v, w, *) : ∀k ∈ ℕ, Φ₁(<vₖ, wₖ>, <v₁, w₁>, *)
a ; b ≜ G(<a, b>, +, 1)
v₁ ; ... ; vₙ ≜ G(Σₖ vₖ [k := 1 ~ n], +, 1
a : b ≜ G(<a, b>, ×, 1)
v₁ : ... : vₙ ≜ G(Σₖ vₖ [k := 1 ~ n], ×, 1)
이거 만드려고…
이러니까 확실히, v₁ ; … ; vₙ가 각 차가 일정하고, 벡터 위치가 달라도 같으니까, 아핀 공간의 원소네
G(<v₁, …, vₙ>, pow, k)는? 항상Φ₁(log(v₁, w₁), log(vₙ, wₙ), pow)니까, 자연로그의 비네.
에초에, G(<a, b>, ×, k)는, G(<ln a, ln b>, +, k)와 동형이고, G(<a, b>, ↑, k)는, G(<ln a, ln b>, ×, k)와 동형이고, G(<a, b>, ↑ⁿ, k)는, G(<ln a, ln b>, ↑ⁿ⁻¹, k)와 동형이니까, 모든 하이퍼연산에 대해 성립하네.
동형인 이유는 동치류는 집합 S인데, 집합 P, Q에 대해, Q = f(P) = {ln x | x ∈ P} 인 동형사상이 존재하니까.
그러면 이러한 G를 Grandpiano라고 할께.
에초에 ZFC에서 정수와 유리수의 정의를 보면, 역산으로 간주할 튜플의 동치류로 구성하니까, Grandpiano는 그러한 하이퍼연산의 역연산들을 닫혀있게 구성해주는 함수네?
잠시만, 그러면 유리수체에서, Cauchy Sequence를 만들어 놓으면, o.o*를 구성할 수 있고, o.o*에서는 adₖ를 구성할 수 있는데?
잘생각해봤는데 말이야, 무한 문자 시퀀스 t에 대해, f(x) = tₕ pₖʰ로 놓고, f는 자연수에서 정의된 함수이므로, 극한을 취한 무한합의 역할을 해줄만함건 부정적분이므로, ∫ f(x) dx가 p-adic을 원래대로 되돌리는 함수같은데?
그러면 daₖ(t) ≜ f(pₖ) [n! (dⁿ/dxⁿ) f(x) := tʰ]인 메클로린 급수 f에 대해서 잘만 표현되네.
이렇게 p-adic의 의미하는 값으로 수렴하는 함수를 da라고 하겠음
그러면, <ℝ ∪ ℝ* ∪ {adₖ | k ∈ ℕ} ∪ , *, ᵤ, st, da, ad>는 함수 ad를 이용하여 언어를 만들수 있고, da를 이용하여 복귀할수 있는 기능을 o.o*에 추가시킨 셈이니, 이를 σ.σ* ≜ <ℝ ∪ ℝ* ∪ {adₖ | k ∈ ℕ} ∪ , *, ᵤ, st, da, ad>로 정의해서, σ.σ*라 하겠음.
Grandpiano로 구성된 유리수체 모델을 구현이 특별하는 특별히 comQ라고 하겠음
comQ위에서 정의된 σ.σ*를 특별히 α.α*라고 하겠음.
(a : b) ± (c : d)는, 에초에 <a, b>, <c, d>라는 베이수 수준에서, Gigachad(±, <a, b>, <c, d>) ≜ <ad ± bc, bd>로 정의한 기가차드 함수에서, Gigachader := λx. λy. Gigachad(x, y)로 정의하면, kuratowski 쌍의 제귀적 정의를 이용하면, Gigachader(±)(x, y) = Gigachad(±, x, y)이므로, 연산자답게 중위표기해주면, x Gigachader(±) y = Gigachad(±, x, y) 따라서, (a : b) ± (c : d) = G(<a, b> Gigachader(±) <c, d>, ×, 1)로 연산을 정의해서, 연산을 준다.
사실은 곱셈은 루프(Loop, 가환인 유사군)와 가환환을 동시에 이루므로, 역연산이라는 툴으로, 함수의 이항을 구현해서, 비례식과 동형임을 증명할 수 있어, 일관성이 깨지지 않기에, 저런식으로 정의하는것.
에초에 유클리드 공간에서 단위길이의 선분 OX와, 선분 OX에서 X방향으로 무한히 연장한 반직선 OX에 대해, 선분 OX위에 없고, 반직선 OX위에 있는 점 P에 대해, 선분 OP의 길이를 t로 두자.
직각을 유일하므로, 컴퍼스를 통해 이미 구성되어있는 직각을 작도하여 (구성주의적으로 할수있을거라 가정한것 뿐), 반직선 OX와 수직인 반직선 OX을 그린다. 그리고 선분 OP를 컴퍼스를 이용하여 원호를 그리고, 반직선 OX와 만나는 점을 P이라고 하자, 이제 자를 통해 선분 PX및 XP를 그리면, 직각삼각형 ΔOXP와 직각삼각형 ΔOXP은 합동이다. 즉, 우리는 ΔOXP에 대해, 이를 y=x에 대해 대칭이동한것을 작도한것이다. 마지막으로, 선분 PX와 평행하고, 점 X을 지나는 직선 XT를 그어주고, 직선 XT가 선분 OX와 만나는 점이 T이다.
이러한 과정을 통해 단위선분 OX의 1:P-1 외분점 P가 존재하여, OP에 대해, 그것의 역수 길이 선분은, OT로 작도 가능하여 존재하고, OT는 기하학적 선분으로 t배하면, OX이므로, 합과 곱을 아름답게 정의할 수 있다.
사실 딱히 아름답다고 생각하지 않지만, “잘 정의되됨”과 “잘 작동함”을 동시에 쓰기 귀찮아서 아름답게 정의된다고 말함.
정수에서 다음 단항연산을 정의함. -x ≜ 0 - x
x = x ↔ x - x = 0임.
정수에서 덧셈, 뺄셈이 정의된다 가정하면 다음을 만족한다.
1.1. x = -|x| ↔ x - (-|x|) = -|x| - (-|x|) = 0 ↔ - (-|x|) = |x|임. 따라서, 범자연수 x에 대해, -(-x) = x 1.2. 음의 정수 x에 대해, x = -|x|에서, -(-x) = -(-(-|x|)) = -(|x|) = x 1.3. 따라서, 1.1. 및 1.2.에 따라서, 정수 x에 대해, -(-x) = x이며, 특히, -(-1) = 1 2.1. 범자연수 x에 대해, (-1)x = -x 2.2. 음의 정수 x에 대해, (-1)|x| = -|x| = x에서, -(-1)|x| = -x = |x| = -(-|x|) = -((-1)|x|)에서,
아시바 증명이 뭔가 이상한데 ㅋㅋ 오늘은 여기까지.
오늘에서는 결과적으로 σ.σ*라는 거대한 수 체계를 만드는 구성인 α.α*을 만들었네. 그러면서 Grandpiano를 이용하여, 하이퍼연산과 그 역연산에서 닫힘을 보장하며, 이를 통해서 아핀공간의 벡터와, 비, 그리고 여러 Grandpiano류 대수들을 만들었네. 그래서 Grandpiano류 대수와 α.α*구성을 통한 σ.σ*대수를 통해서, n중차, n중비를 다루며, 동시에 p-adic • hyperrealfield까지 다룰수 있으니 일석 이조고, 이걸로 n² 행렬인 벡터의 코벡터를 만들어서, 복소수, 분할복소수, 멱등원, 사원수, 팔원수 등을 만들 수 있겠네
컴퓨터 구현시에서는 p-adic, hyperreal, real, fraction을 각각 다룰때 자료형을 만들어서 변환하는걸로 생각하면 되겠네.
소인수분해시에는 고전 소수열 pₖ = 1 if k = 0 else pₗ s.t. pₗ = inf {gcdᵢ pᵢ = 1 [i := 1 ~ k]}에, 최대공약수 gcd(x, y) ≜ x if y = 0 else gcd(y, x mod y)및 최소공배수 lcm(x, y) = xy/gcd(x, y)를 만들수 있으고 특히 최대공약수는 가환모노이드니, pₖ가 옳고 (오 시바 ㅋㅋ 삼성키보드 사용하기 뭣같아서 육성으로 욕나왔넼ㅋㅋㅋㅋ) 새로 만든 정수용 소인수열 ₩ₖ ≜ cis(π) if k = 0 else pₖ에서, 단위로그눈금자 alₖ ≜ ln(₩ₖ)에 대해, ln이 자료형인 형태로 소인수분해 결과를 뱉을수 있겠네.
함수 제작같은 경우에는, Rₘ(M)ₙ(V) ≜ Σₖ (ln(Σᵢ Vₜ) - Vₖ)eₖ [t := Mₖᵢ][k := 1 ~ m][i := 1 ~ n]에서, 음함수, Rₘ(M)ₙ(V) = 0꼴로, 실수 미지수가 V에 생기고, 요기서, V₁ ↦ V₂가 실수, V₃ ↦ V₄로 가는 실수열을 각각 코시수열과 초실수 제작용 수열로 보면 이미 있을건 다 있겠네. 이런 방식을 근본-nibble-array라는 뜻으로 NewageNibleArray라고 부르면 되겠네. 이미 이걸로 연립방정식 재작은 다 케리되니까 사실상 행렬 M이 실수 생성 행렬이 되는거고. R을 Relator라고 해야지. 그러면, 아싸존애 정의한 ln이 ln(x + y) ≜ ln(x) + ln(y)하면 자동으로 자연로그가 되기에 (복소로그의 정의상, 저런 일반화 로그는 복소로그의 정의로 귀결되어, 항상 ln임), 이전 정의도 가저온거고, 이 시스템을 Relator와 NewageNibleArray라고 부르면 되겠네, 이때 실수 • 초실수의 정의는 α.α*를 쓰고. 이걸 oωo*라고 부름 되겠군
이거완전 복잡한 부분은 거의 행렬기반이니까, 쉽게 컴퓨터에 구현 가능하고, 자동증명용 • 형식증명검증으로도 용이할듯. 나머지 부분에서 실수같은 비 대수적 부분은 자료형으로 만들기 용이하고, 타입케스팅 함수도 있으니. oωο*로 프로그래밍 시스템 만들면, 대박 엄밀할듯